Makalah Sejarah Trigonometri

MAKALAH
SEJARAH TRIGONOMETRI



DETUJUKAN KEPADA FERRY FERDIANTO,S.T.,M.Pd.
DISUSUN OLEH :
NAMA : MOH. HARIS
PRODI : MATEMATIKA
FAKULTAS : MATEMATIKA
TAHUN : 2010


Trigonometri
Trigonometri (dari bahasa yunani, trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Sejarah awal
Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.
Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga.
Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.
Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis




PENJUMLAHAN DUA SUDUT ( + )

sin( + ) = sin  cos  + cos  sin 
cos( + ) = cos  cos  - sin  sin 
tg() = tg  + tg 
1 - tg2

SELISIH DUA SUDUT ( - )

sin( - ) = sin  cos  - cos  sin 
cos( - ) = cos  cos  + sin  sin 
tg(-) = tg  - tg 
1 + tg2

SUDUT RANGKAP

sin 2 = 2 sin  cos 
cos 2 = cos2 - sin2 
= 2 cos2 - 1
= 1 - 2 sin2
tg 2 = 2 tg 2
1 - tg2
sin  cos  = ½ sin 2
cos2 = ½(1 + cos 2)
sin2 = ½ (1 - cos 2)

Secara umum :

sin n = 2 sin ½n cos ½n
cos n = cos2 ½n - 1
= 2 cos2 ½n - 1
= 1 - 2 sin2 ½n
tg n = 2 tg ½n
1 - tg2 ½n


JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA


BENTUK PENJUMLAHAN  PERKALIAN

sin  + sin  = 2 sin  + cos  -
2 2
sin  - sin  = 2 cos  + sin  -
2 2
cos  + cos  = 2 cos  + cos  -
2 2
cos  + cos  = - 2 sin  + sin  -
2 2

BENTUK PERKALIAN  PENJUMLAHAN

2 sin  cos  = sin  +) + sin  -)
2 cos  sin  = sin  +) - sin  -)
2 cos  cos  = cos  +) + cos  -)
- 2 sin  cos  = cos  +) - sin  -)

PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA

Bentuk a cos x + b sin x

Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - )

a cos x + b sin x = K cos (x-)
dengan :
K = a2 + b2 dan tg  = b/a  = ... ?

Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut :
I II III IV
a + - - +
b + + - -
keterangan :
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x

PERSAMAAN
I. sin x = sin   x1 =  + n.360°
x2 = (180° - ) + n.360°

cos x = cos   x = ±  + n.360°

tg x = tg a x = a + n.180° (n = bilangan bulat)
y = a cos x + b sin x

a cos x + b sin x = K cos (x - )

Maksimum = K  bila cos (x - ) = 1
cos (x - ) = cos 0°
  untuk x =  + n.360°

Minimum = -K  bila cos (x - a) = -1
cos (x - a) = cos 180°
  untuk x =  ± 180° + n.360°


NILAI PEMBUAT NOL FUNGSI (TITIK POTONG DENGAN SUMBU-x)

y = 0  bila cos (x-a) = 0
cos (x-a) = cos 90°
  untuk x = a ± 90° + n360°
grafik dibuat berdasarkan data-data diatas

II. a cos x + b sin x = c
a cos x + b sin x = C
K cos (x-) = C
cos (x-) = C/K
syarat persamaan ini dapat diselesaikan
-1  C/K  1 atau K²  C² (bila K dalam bentuk akar)

misalkan C/K = cos 
cos (x - ) = cos 
(x - ) = ±  + n.360°  x = ( ± ) + n.360°

Untuk x mendekati harga tertentu dapat ditentukan nilai pendekatan dari f(x) yang merupakan limit (nilai Batas) dari f(x) tersebut.

CONTOH :

Untuk x mendekati tak berhingga, maka f(a) = 2/x akhirnya akan mendekati 0.

ditulis : l i m 2 = 0
x   x

Hasil yang harus dihindari

0/0 ; / ; - ; 0, (*) (bentuk tak tentu)

TEOREMA

1. Jika f(x) = c maka l i m f(x) = c
x a
2. Jika l i m f(x) = F dan l i m g(x) = G maka berlaku
x a x a
a. l i m [f(x)  g(x)] = l i m f(x)  l i m g(x) = F ± G
x a x a x a

b. l i m [f(x) • g(x)] = l i m f(x) • l i m g(x) = F • G
x a x a x a

c. l i m k • f(x) = k l i m f(x) = k • F
x a x a

l i m f(x)
d. l i m f(x) = x a = F
x a g(x) l i m g(x)  G
x a


LANGKAH MENCARI LIMIT SUATU FUNGSI

1. Harga yang didekati disubstitusikan ke fangsi yang dimaksud.
Bila bukan (*) maka itulah nilai limitnya.

2. Bila (*) maka usahakan diuraikan.
Pada fungsi pecahan, faktor yang sama pada pembilang dan penyebut (penyebab bentuk (*)) dicoret. Pencoretan im boleh dilakukan, karena x hanya mardekati harga yang diberikan. Kemudian baru harga yang didekati disubstitusikan. Dalam konteks limit perhatikan hasil pembagian berikut :

0/a = 0 ; a/0 =  ; /a =  ; a/ = 0 ; ± a =konstanta)
KETENTUAN

Untuk x <<< ( x  0 ) maka sin x x (x <<< kecil sekali ;  setara ) l i m sin x = 1 l i m tg x = 1 x  0 x x  0 x l i m x = 1 l i m x = 1 x  0 sin x x  0 tg x PERLUASAN l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x  0 bx x  0 bx l i m ax = a/b l i m ax = a/b x  0 sin bx x  0 tg bx l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x  0 sin bx x  0 tg bx l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x  0 tg bx x  0 sin bx Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi: cos x = sin (90° - x) ctg x = tg (90° - x) sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax cos ax = 1- 2 sin² ½ax cos²x = 1 - sin²x HAL-HAL KHUSUS l i m axm + bxm-1 + .... = x  pxn + qxn-1 + ...  untuk m > n ;
a/p untuk m =n ;
0 untuk m < n l i m ax2 + bx + c - dx2 + ex + f x   untuk a > d ;
b-e untuk m =n ;
2a
- untuk a < d Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar. DALIL L'HOSPITAL Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) =  maka l i m f(x) = l i m f(x) x  g(x) x a g(x) CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR 1. l i m x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0 x 3 2. l i m 3x - 2 =  (*) Uraikan x  2x + 1  x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3 x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2 atau langsung gunakan hal khusus 3. l i m x2 - x - 1 =  (*) Uraikan x  10x + 9  x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x =  - 1 - 0 =  = x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10 atau langsung gunakan hal khusus 4. l i m x2 - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan x 2 x2 - 5x + 6 0 (x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1 (x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3 atau langsung gunakan hal khusus  Differensial 5. l i m x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan x 1 x2 - 5x + 6 0 (x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 (x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6 atau langsung gunakan hal khusus  Differensial 6. l i m 2 + x - 2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan x 2 x - 2 0 mengalikan bentuk sekawan (x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 = 0 (x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6 atau langsung gunakan hal khusus  Differensial 7. l i m (3x - 9x2 + 4x) =  -  (*) Hilangkan tanda akar x  l i m (3x - 9x2 + 4x ) =  3x - 9x2 + 4x  = (*) Hilangkan tanda x   3x - 9x2 + 4x  akar l i m (9x2 - (9x2 + 4x) = l i m -4x = x  3x + (9x2 + 4x) x  3x + 3x [1+(a/9x)] l i m -4 = -4 = -2 x  3 + 3(1 + 0) 6 3 atau langsung gunakan hal khusus CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI 1. l i m sin 2x = 0 (*) x 0 tg 3x 0 sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2 2x tg 3x 3 3 3 2. l i m 1 - cos 2x = 0 x 0 sin 2x 0 1 - (1 - 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0 2 sin x cos x 2 sin x cos cos x 3. l i m 1 - cos x = 0 x 0 3x² 0 2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1 3 . 4 . (½x) 6 (½x) (½x) 6 6 atau langsung gunakan hal khusus  Differensial 4. l i m sin x - sin a = 0 (*) x 0 x - a 0 2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) = x - a ½ (x - a ) cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a atau langsung gunakan hal khusus  Differensial Differensial (turunan) fungsi y = f(x) terhadap x didefinisikan sebagai : dy = l i m f(x + x) - f(x) dx x  0 x (Perbandingan perubahan y yang disebabkan karena perubahan x, untuk perubahan x yang kecil sekali) Notasi lain : df/dx = f`(x) ; y` RUMUS - RUMUS 1. FUNGSI ALJABAR y = xn  dy/dx = nxn-1 2. FUNGSI TRIGONOMETRI y = sin x  dy/dx = cos x y = cos x  dy/dx = - sin x y = sin x  dy/dx = sec²x Sifat - sifat : 1. y = c (c=konstanta)  dy/dx = 0 2. y = c U(x)  dy /dx = c . U`(x) 3. y = U(x) ± V(x)  dy /dx = U`(x) ± V`(x) 4. Bentuk perkalian y = U(x) . V(x)  dy/dx = U`(x).V(x) + U(x).V`(x) 5. Bentuk pembagian y = U(x)  dy = U`(x).V(x) - U(x).V`(x) V(x) dx (V(x))² 6. Bentuk rantai y = f(U) dan U = g(x)  dy/dx = dy/du .du/dx y = (ax + b)n dy/dx = n(ax+b)n-1(a) y = sin (ax + b) dy/dx = (a) cos (ax+b) y = sinn (ax + b) dy/dx = n sinn-1(ax+b) [a cos (ax+b)] Ket : Untuk menyelesaikan persoalan, sifat dan rumus-rumus ini dikombinasikan 1. MENENTUKAN KOEFISIEN ARAN GARIS SINGGUNG (Gradien) di titik (x1y1) pada kurva y = f(x) m = f`(x1) f`(x1) berarti nilai turunan f(x) pada titik dengan absis x = x1, Ket : Khusus untuk jenis fungsi kuadrat. Jika titik tidak terletak pada grafik, maka gradien garis singgungnya dimisalkan dengan m yang dicari dengan menggunakan persamaan garis y - y1 = m (x - x1) disinggungkan dengan persamaan kurva y = f(x) dengan syarat D = 0 (D = diskriminan dari hasil eliminasi kedua persamaan) 2. MENENTUKAN MONOTON FUNGSI • Fungsi y = f(x) monoton naik pada suatu interval, jika pada interval itu berlaku f'(x) > 0

• Fungsi y = f(x) monoton turun pada suatu interval,
jika pada interval itu berlaku f'(x) < 0 3. MENENTUKAN TITIK STASIONER Fungsi y = f(x)  Syarat stasioner f'(x) = 0 JENIS - JENISNYA STASIONER : MAKSIMUM Syarat : f`(x) = 0  x = x0; f'' (x0) < 0  Titik maksimum (xo, f(xo)) MINIMUM Syarat : f '(x) = 0  x = x0; f'' (x0) > 0 Titik Minimum (xo, f(xo))

BELOK
Syarat : f '(x) = 0  x = x0; f'' (x0) = 0 Titik belok (xo, f(xo))

Nilai Stasioner adalah nilai fungsi di absis titik stasioner

Keterangan :
1. Untuk menentukan jenis jenis titik stasioner dapat juga dicari dengan melihat perubahan tanda disekitar titik stasioner.
Langkah :
a. Tentukan absis titik stasioner dengan syarat f '(x) = 0 x = xo
b. Buat garis bilangan f '(x)
c. Tentukan tanda-tanda disekitar titik stasioner dengan mensubstitusi sembarang titik pada f '(x)
d. Jenis titik stasioner ditentukan oleh perubahan tanda di sekitar
titik stasioner.
ket : f`(x) > 0 grafik naik
f`(x) > 0 grafik turun

2. Nilai maksimum/minimum suatu fungsi dalam interval tertutup didapat dari nilai stasioner fungsi dalam interval itu atau dari nilai fungsi pada ujung - ujung interval
4. MASALAH FISIKA

Jika S(t) = Jarak (fungsi waktu)
V(t) = Kecepatan (fungsi waktu)
a(t) = Percepatan (fungsi waktu)
t = waktu

maka V = dS/dt dan a = dV/dt

5. MENYELESAIKAN MASALAH LIMIT

DALIL L'Hospital

Jika fungsi-fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada x = a dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) =  sehingga :

lim f(x) = 0 atau lim f(x) = , maka
xa g(x) 0 xa g(x) 

lim f(x) = lim f`(x) = , maka
xa g(x) xa g`(x) 
INTEGRAL merupakan kebalikan dari differensial (anti differensial).
Jika turunan dari F(x) adalah f(x), maka :
 f(x) dx = F(x) + c  (c = konstanta)
Integral dapat digolongkan atas :

A. Integral tak tentu (Tanpa batas)
B. Integral tertentu (Dengan batas)
1. RUMUS

FUNGSI ALJABAR
 xn dx = 1/n+1 xn+1 + c ; n  -1

FUNGSI TRIGONOMETRI
 sin x dx = - cos x + c
cos x dx = sin x + c

sifat-sifat:
a. c f(x) dx = c f(x) dx
b. ( f(x) ± g(x) ) dx = f(x) dx ± g(x) dx
c. jika f(x) dx = F(x) + c
maka f(ax) dx=1/a F(ax) + c
f(ax+b) dx=1/a F(ax+b) + c

Perluasan :
(ax + b)n dx = 1/a 1/(n+1) (ax + b)n+1 + c
sin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) + c
cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c
CARA MENGINTEGRIR

a. SUBSTITUSI

I = f(x) dx
substitusi : x = Q(u) ; dx = Q`(u) du
I = f(Q(u)) Q`(u) du
jika ruas kanan telah diintegrir, subtitusi kembali dengan fungsi invers dari x = Q(u)
(ket : Prinsipnya adalah merubah variabel sehingga rumus dapat digunakan)

b. SUBSTITUSI TRIGONOMETRI

1. Bentuk  a2 - x2
misalkan x = a sin  = arc sin x/a
dx = a cos  d


 a2 - x2 dx = a  1 - sin2 (a cos  d)
= a2 cos2 d
= ½a2 (1 + cos2) d
= ½a2 ( + sin cos) + c

= ½a2 [arc sin x + x a2 - x2 ] + c
a a a

  a2 - x2 dx = ½ a2 arc sin x/a + ½ x  a2 - x2 + c

2. Bentuk a2 + b2x2
Gunakan substitusi : x = a/b tg
dx = a/b sec2 d

3. Bentuk b2x2 - a2
Gunakan substitusi : x = a/b sec
dx = a/b tg sec2


c. PARSIIL

Yaitu mengenai integral dari suatu bentuk yang merupakan hasil perkalian antara suatu fungsi x dengan turunan dari suatu fungsi x yang lain.

I = f(x) g(x) dx
Misalkan : u = f(x) ; dv = g(x) dx
du = ..... dx ; v = g(x) dx = ..... maka :

u du = u v - v du

Pemisalan dibuat sedemikian sehingga bentukv du jadi lebih mudah
Untuk hal-hal khusus dapat digunakan cara TABULASI
1. Pengertian

Bila suatu fungsi F(x) mempunyai turunan f(x), maka bila f(x) diintegrasikan pada selang (a, b) menjadi
a a
 c dx = c(x) = F(b) - F(a)
b b
2. Sifat

b b
a.  c dx = c(x) = c(b - c) c = konstanta
a a

b a
b.  f(x) dx = -  f(x) dx c = batas ditukar
a b

a
c.  f(x) dx = 0 c = batas sama
a

b a b
d.  f(x) dx =  f(x) dx +  f(x) dx c = ( a < c < b) a b c 1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x)  0 (grafik di atas sumbu-x) ; sumbu -x garis x = a ; garis x = b b Luas =  f(x) dx = 0 a 2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = g(y)  0 (grafik di kanan sumbu-y) sumbu -y ; garis y = c ; garis y = d d Luas =  g(y) dy = 0 c b 3. Untuk y = f (x) < 0, maka  f(x) dx < 0 a menyatakan luas daerah yang terletak di bawah sumbu x dibatasi oleh garis x = a ; a = b. Karena luas selalu positif, maka : b b Luas = -  f(x) dx = f(x) dx  a a 4. Jika y = f (x) pada interval a < x < b grafiknya memotong sumbu-x, maka luasnya merupakan jumlah dari beberapa integral tertentu. y = f(x) memotong sumbu x di c ; a < c < b sumbu-x ; garis x = a ; garis x = b c b Luas =   f(x) dx + f(x) dx a c 5. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva y= f1(x) ; y=f2(x) garis x = a ; garis x = b b Luas =  [f1(x) - f2(x)] dx a 6. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva Y = f1(x) Y = f2(x) yang berpotongan pada titik-titik yang berabsis c dan d d Luas =  [f1(x) - f2(x)] dx c HAL KHUSUS 1. Untuk luas antara dua kurva (fungsi kuadrat dengan sumbu-x ; fungsi kuadrat dengan fungsi kuadrat atau fungsi kuadrat dengan fungsi linier dapat digunakan rumus: Luas = DD atau Luas = ax1 - x2  3 6a2 6 Ket. : D = Diskriminan hasil eliminasi kedua persamaan (yang tidak disederhanakan) a adalah koefisien a² hasil eliminasi kedua persamaan. x1 dan x2 adalah absis titik potong kedua kurva. 2. Luas antara parabola dengan sumbu-x. Luas = 2/3 luas persegi panjang terkecil yang melingkupinya = 2/3 (b-a)(c) 1. Volume benda putar yang mengelilingi sumbu x y = f(x) ; garis x =a ; garis x = b ; diputar mengelilingi sumbu -x b Volume =   (f(x))2 dx a 2. Volume benda putar mengelilingi sumbu y x = f(y) garis y = c ; garis y = d ; diputar mengelilingi sumbu-y d Volume =   (f(x))2 dy c 3. Daerah antara dua kurva diputar mengelilingi sumbu -x y = f1(x) ; y = f2(x) garis x = a ; garis x = b ; diputar mengelilingi sumbu -x b Volume =   {[f1(x)]2 - [f2(x)]2} dx a 4. Daerah antar dua kurva yang berpotongan pada titik-titik dengan absis a dan b diputar mengelilingi surnbu x y = f1(x) ; y=f2(cx) diputar mengelilingi sumbu-x b Volume =   {[f1(x)]2 - [f2(x)]2} dx a 1. Panjang busur kurva y = f(x) dari a = a sampai a = b b S =    1 + (dy/dx)2 dx a 2. Panjang busur kurva x = f(y) dari y = c sampai y = d d S =    1 + (dx/dy)2 dy c BIDANG EMPAT TEGAK Bidang empat tegak adalah bidang empat yang salah satu rusuknya tegak lurus pada bidang alas atau proyeksi titik puncaknya tepat pada salah satu titik sudut bidang alas.. BIDANG EMPAT BERATURAN • Bidang yang batasnya terdiri dari dari empat buah segitiga sama sisi yang kongruen • Titik sudutnya merupakan pertemuan dari tiga buah bidang batas dan tiga buah rusuk • Karena masing-masing bidang batas merupakan segitiga sama sisi yang kongruen, maka titik berat masing- masing bidang batas tepat berimpit dengan titik tingginya. Sehingga titik berat bidang empat beraturan juga tepat berimpit dengan titik tingginya. AM = 2/3 AD BM = 2/3 BE CM = 2/3 CF BIDANG EMPAT SIKU-SIKU Bidang empat siku-siku adalah bidang empat dengan ketiga buah rusuknya bertemu pada satu titik yang saling tegak lurus sesamanya. • Bujur sangkar ABCD (segi-empat beraturan) merupakan bidang alas limas. Titik O adalah titik pusat bidang alas. • Titik T merupakan titik puncak limas • Segitiga TAB, TBC, TCD, TAD merupakan bidang sisi tegak • Garis TA, TB, TC, TD merupakan rusuk-rusuk tegak • Garis AB, BC, CD, DA, merupakan rusuk-rusuk alas • TO tegak lurus bidang alas (ABCD) • Titik O merupakan proyeksi titik T pada bidang alas ABCD (O pusat bidang alas). TO merupakan tinggi limas. Kubus Tabung rusuk kubus = a volume = a³ panjang diagonal bidang = a2 luas = 6a² panjang diagonal ruang = a3 r = jari-jari t = tinggi volume =  r² t luas = 2rt Prisma Kerucut LA = luas alas t = tinggi volume = LA.t r = jari-jari t= tinggi g = garis pelukis volume = 1/3 r²t luas = rs Limas Bola LA = luas alas t = tinggi volume = 1/3 LA t r =jari-jari volume = 4/3 r³ luas = 4r²